L'essentiel
- La valeur actuelle probable d'un engagement viager combine l'actualisation financière et la probabilité que le flux soit effectivement dû.
- Les nombres de commutation ne sont qu'une écriture condensée de cette double pondération : ils n'ajoutent aucune hypothèse.
- Deux conventions commandent tout résultat, la table de mortalité retenue et le taux technique.
- Le versement à terme échu ou à terme d'avance change la valeur de l'engagement sans rien changer à l'engagement lui-même.
- Un écart de calcul qui ne s'explique ni par la table, ni par le taux, ni par la convention de terme est une erreur.
Le cadre
Un engagement viager est un flux dont la survenance dépend de la vie ou du décès d'une personne. Sa valeur actuelle probable est la somme des flux futurs, chacun pondéré par sa probabilité de survenance et actualisé à la date d'évaluation.
La table de mortalité fournit la suite des survivants, notée l aux différents âges. Le nombre de décès entre deux âges s'en déduit par différence.
Le taux technique fournit le facteur d'actualisation annuel, égal à l'inverse de un plus le taux.
Les nombres de commutation regroupent ces deux pondérations en une seule grandeur par âge, ce qui permet d'exprimer la plupart des engagements sous forme de quotient. Ils ne constituent ni une méthode d'évaluation, ni une hypothèse : ce sont des tables de calcul.
Les nombres de commutation
Les commutations en cas de vie pondèrent les survivants par l'actualisation. Les commutations en cas de décès pondèrent les décès de l'année par l'actualisation de la fin de cette année, puisque le capital est réputé payable au terme de l'année du décès. Les sommes d'ordre deux ne servent pas les formules ci-dessous : elles préparent les engagements à annuités variables.
- Facteur d'actualisation
- v = 1 / (1 + i)
- Décès de l'année d'âge x
- dx = lx - lx+1
- Commutation en cas de vie
- Dx = vx · lx
- Somme des commutations en cas de vie
- Nx = Dx + Dx+1 + Dx+2 + ...
- Somme d'ordre deux en cas de vie
- Sx = Nx + Nx+1 + Nx+2 + ...
- Commutation en cas de décès
- Cx = vx+1 · dx
- Somme des commutations en cas de décès
- Mx = Cx + Cx+1 + Cx+2 + ...
- Somme d'ordre deux en cas de décès
- Rx = Mx + Mx+1 + Mx+2 + ...
Les engagements en cas de vie
Les formules ci-dessous donnent la valeur actuelle probable, à l'âge x, d'un engagement d'une unité monétaire. La rente est dite à terme échu lorsque l'arrérage est versé en fin de période, et à terme d'avance lorsqu'il est versé en début de période.
Le passage d'un fractionnement annuel à un fractionnement mensuel ou trimestriel se traite par une correction dont la convention doit être écrite, et appliquée de la même façon à la tarification et au provisionnement.
- Capital différé de n années, sans contre-assurance
- nEx = Dx+n / Dx
- Rente viagère à terme échu, immédiate
- ax = Nx+1 / Dx
- Rente à terme échu, immédiate et temporaire de n années
- (Nx+1 - Nx+n+1) / Dx
- Rente à terme échu, différée de m années
- Nx+m+1 / Dx
- Rente à terme échu, différée de m années et temporaire de n années
- (Nx+m+1 - Nx+m+n+1) / Dx
- Rente à terme d'avance, immédiate
- äx = Nx / Dx
- Rente à terme d'avance, immédiate et temporaire de n années
- (Nx - Nx+n) / Dx
- Rente à terme d'avance, différée de m années
- Nx+m / Dx
- Rente à terme d'avance, différée de m années et temporaire de n années
- (Nx+m - Nx+m+n) / Dx
Les engagements en cas de décès
Les formules ci-dessous donnent la valeur actuelle probable, à l'âge x, d'un capital d'une unité monétaire payable au terme de l'année du décès.
La garantie temporaire s'obtient par différence entre deux engagements vie entière, celui souscrit à l'âge x et celui qui prendrait effet au terme de la période couverte.
- Vie entière
- Ax = Mx / Dx
- Temporaire décès de n années
- (Mx - Mx+n) / Dx
- Temporaire décès de n années, différée de m années
- (Mx+m - Mx+m+n) / Dx
- Vie entière différée de m années
- Mx+m / Dx
Zones de vigilance
Choix et justification de la table
La table retenue doit correspondre à la garantie et à la population couverte. L'emploi d'une table d'expérience suppose une certification et un suivi de son adéquation dans le temps, et le passage d'une table à l'autre produit un effet qui doit être isolé dans les comptes.
Génération et âge atteint
Les tables générationnelles se lisent par année de naissance. Une erreur d'une génération, ou la confusion entre l'âge atteint et l'âge à la souscription, déplace la provision sans laisser de trace visible dans le résultat.
Taux technique
Le taux technique retenu à la tarification engage l'organisme pour toute la durée du contrat. Sa cohérence avec le rendement des placements affectés doit être vérifiée à chaque clôture, et non seulement à la souscription.
Convention de terme et fractionnement
Le passage du terme échu au terme d'avance et le fractionnement infra-annuel modifient la valeur de l'engagement. La convention appliquée doit être la même à la tarification, au provisionnement et dans les projections.
Réversion et contre-assurance
Une rente réversible et un capital différé avec contre-assurance ne se ramènent pas aux formules simples. Ils supposent une modélisation conjointe des têtes assurées, dont les hypothèses de corrélation et d'écart d'âge doivent être écrites.
Frais de gestion
Les formules ne portent que l'engagement de prestation. Les frais de gestion des rentes en service appellent leur propre évaluation, et une provision lorsque les chargements prévus ne les couvrent plus.
Comptes sociaux et bilan prudentiel
Ces formules servent les comptes sociaux et la tarification. L'évaluation prudentielle repose sur une autre construction, avec la courbe des taux sans risque, des hypothèses de meilleure estimation et une marge de risque.
Points d'audit
Les questions à poser, et à documenter, lors d'une revue interne ou externe.
- La table de mortalité et le taux technique retenus pour chaque produit font-ils l'objet d'une note écrite, et sont-ils rapprochés des conditions générales des contrats ?
- Le recalcul indépendant d'un échantillon de contrats retrouve-t-il les provisions comptabilisées, et l'écart résiduel est-il expliqué ?
- La convention de terme et le traitement du fractionnement sont-ils identiques à la tarification, au provisionnement et dans les projections ?
- Les tables générationnelles sont-elles appliquées par année de naissance, et l'âge retenu est-il celui que prévoit le contrat ?
- Les tables d'expérience utilisées sont-elles certifiées, et leur adéquation est-elle réexaminée chaque année ?
- Les garanties de réversion et les contre-assurances sont-elles évaluées avec une modélisation propre, et non par transposition des formules simples ?
- Les frais de gestion des rentes en service sont-ils évalués séparément, et la couverture par les chargements est-elle vérifiée ?
- Le passage des comptes sociaux à l'évaluation prudentielle est-il documenté poste par poste ?